Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é diagonalização via determinante de A - \lambda I para achar o polinômio, depois resolver p(\lambda)=0 e, para cada raiz, encontrar o espaço nulo de A - \lambda I.

Passo 2

Como A é triangular (todos os elementos acima ou abaixo da diagonal são zeros em cada coluna apropriada), o determinante de A-\lambda I é o produto das entradas diagonais de A-\lambda I. Logo,
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(3-\lambda)\,(-2-\lambda).
Podemos reescrever, à ordem monica,
p(\lambda) = (\lambda - 1)\,(\lambda - 3)\,(\lambda + 2).

Passo 3

Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0. Assim,
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 3,\quad \lambda_3 = -2.

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0.
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix},
o que dá o sistema
- x + 2y = 0,\quad 3x + 2y -3z = 0.
Da primeira equação vem x=2y. Substituindo na segunda:
3(2y) + 2y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; 8y = 3z \;\Longrightarrow\; z = \tfrac{8}{3}y.
Escolhendo y=3 para evitar fração, um autovetor é
v_1 = (6,\,3,\,8)^{T}.

Passo 5

Para \lambda=3, temos
A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & -5 \end{pmatrix},
o que impõe
-2x = 0 \;\Rightarrow\; x=0, \qquad 2y -5z = 0 \;\Rightarrow\; y = \tfrac{5}{2}z.
Escolhendo z=2, um autovetor é
v_2 = (0,\,5,\,2)^{T}.

Passo 6

Para \lambda=-2, temos
A + 2I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ -1 & 5 & 0\\\\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix},
o que dá
3x = 0 \;\Rightarrow\; x=0, \quad - x +5y = 0 \;\Rightarrow\; y=0,
e z livre. Tomando z=1, um autovetor é
v_3 = (0,\,0,\,1)^{T}.

Resposta

Polinômio característico:
p(\lambda) = (\lambda - 1)\,(\lambda - 3)\,(\lambda + 2).
Autovalores e autovetores:
\lambda_1 = 1,\quad v_1 = (6,\,3,\,8)^{T};
\lambda_2 = 3,\quad v_2 = (0,\,5,\,2)^{T};
\lambda_3 = -2,\quad v_3 = (0,\,0,\,1)^{T}.

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