Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[6pt] 0 & -1 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores e autovetores de matrizes triangulares, e o critério de diagonalização via multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores.]

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal principal. Logo,
\lambda_{1} = 1,\quad \lambda_{2} = -1,\quad \lambda_{3} = 2.

Passo 3

Os autovalores \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1 e \lambda_{3}=2 são todos distintos. Pela teoria, uma matriz de ordem n com n autovalores distintos é diagonalizável, pois em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica e totalizam n autovetores independentes.

Resposta

A matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[3pt] 0 & -1 & 2 \\[3pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável.]

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