Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada uma das matrizes abaixo:
a) [ll1 & 1 1 & 1]
b) [cc1 & -1 2 & 4]
c) [lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0]
d) [ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2]

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz dada, que a gente calcule o polinômio característico det(A - lambda I), ache as raízes desse polinômio (os autovalores) e, para cada autovalor, determine um vetor não-nulo v que satisfaça (A - lambda I)v=0. O método geral é usar determinantes para o polinômio e resolver sistemas lineares homogêneos para os autovetores.

Passo 2

Para a matriz
A = 1 & 1 1 & 1
calculamos
det(A - lambda I) = det1-lambda & 1 1 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda

Passo 3

As raízes de
lambda^2 - 2lambda = 0
são
lambda(lambda - 2) = 0 Longrightarrow lambda1 = 0, lambda2 = 2

Passo 4

Para resolvemos
:
um autovetor é .
Para resolvemos
:
um autovetor é .

Passo 5

Para
B = 1 & -1 2 & 4
temos
det(B - lambda I) = det1-lambda & -1 2 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (-1)cdot 2 = lambda^2 -5lambda +6

Passo 6

As raízes de
lambda^2 -5lambda +6 =0
fatores são (lambda-2)(lambda-3)=0, logo
lambda1=2 e lambda2=3.

Passo 7

Para :
um autovetor é .
Para :
um autovetor é .

Passo 8

Para
C = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
como é triangular,
det(C - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(-lambda) = -lambda^3
O polinômio característico (na forma monica) é lambda^3.

Passo 9

A única raiz é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 10

Resolvendo
e . Como a multiplicidade geométrica é , há um único subespaço próprio gerado por esse vetor.

Passo 11

Para
D = 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2
também triangular,
det(D - lambda I) = (1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)

Passo 12

As raízes de (1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)=0 são
lambda1=1,;lambda2=3,;lambda3=-2.

Passo 13

Para
Para :

Resposta

(a)
Polinômio característico: det(A-lambda I)=lambda(lambda-2).
Autovalores: lambda=0,2.
Autovetores: para lambda=0, (1,-1); para lambda=2, (1,1).
(b)
Polinômio característico: det(B-lambda I)=lambda^2-5lambda+6=(lambda-2)(lambda-3).
Autovalores: lambda=2,3.
Autovetores: para lambda=2, (1,-1); para lambda=3, (1,-2).
(c)
Polinômio característico: det(C-lambda I)=-lambda^3 (monico lambda^3).
Autovalor único: lambda=0 (multiplicidade 3).
Autovetor: (1,0,0).
(d)
Polinômio característico: det(D-lambda I)=(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda).
Autovalores: lambda=1,3,-2.
Autovetores: para lambda=1, (6,3,8); para lambda=3, (0,5,2); para lambda=-2, (0,0,1).

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