Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada uma das matrizes abaixo:
a)
b)
[cc1 & -1 2 & 4]
c)
[lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0]
d)
[ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2]
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada matriz dada, que a gente calcule o polinômio característico
det(A - lambda I) , ache as raízes desse polinômio (os autovalores) e, para cada autovalor, determine um vetor não-nulo
v que satisfaça
(A - lambda I)v=0 . O método geral é usar determinantes para o polinômio e resolver sistemas lineares homogêneos para os autovetores.
Passo 2
Para a matriz
calculamos
Passo 3
As raízes de
lambda^2 - 2lambda = 0
são
são
Passo 4
Para
resolvemos
:
um autovetor é
.
Para resolvemos
:
Para
um autovetor é
.
Passo 5
Para
temos
Passo 6
As raízes de
lambda^2 -5lambda +6 =0
fatores são(lambda-2)(lambda-3)=0 , logo
lambda1=2 e
lambda2=3 .
fatores são
Passo 7
Para
:
um autovetor é
.
Para :
Para
um autovetor é
.
Passo 8
Para
como é triangular,
O polinômio característico (na forma monica) é
lambda^3 .
Passo 9
A única raiz é
lambda=0 com multiplicidade algébrica
3 .
Passo 10
Resolvendo
e . Como a multiplicidade geométrica é
, há um único subespaço próprio gerado por esse vetor.
Passo 11
Para
também triangular,
Passo 12
As raízes de
(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)=0 são
lambda1=1,;lambda2=3,;lambda3=-2 .
Passo 13
Para
Para :
Resposta
(a)
Polinômio característico:det(A-lambda I)=lambda(lambda-2) .
Autovalores:lambda=0,2 .
Autovetores: paralambda=0 ,
(1,-1) ; para
lambda=2 ,
(1,1) .
Polinômio característico:
Autovalores:
Autovetores: para
(b)
Polinômio característico:det(B-lambda I)=lambda^2-5lambda+6=(lambda-2)(lambda-3) .
Autovalores:lambda=2,3 .
Autovetores: paralambda=2 ,
(1,-1) ; para
lambda=3 ,
(1,-2) .
Polinômio característico:
Autovalores:
Autovetores: para
(c)
Polinômio característico:det(C-lambda I)=-lambda^3 (monico
lambda^3 ).
Autovalor único:lambda=0 (multiplicidade
3 ).
Autovetor:(1,0,0) .
Polinômio característico:
Autovalor único:
Autovetor:
(d)
Polinômio característico:det(D-lambda I)=(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda) .
Autovalores:lambda=1,3,-2 .
Autovetores: paralambda=1 ,
(6,3,8) ; para
lambda=3 ,
(0,5,2) ; para
lambda=-2 ,
(0,0,1) .
Polinômio característico:
Autovalores:
Autovetores: para