Para cada matriz A abaixo encontre, se possível, uma matriz não-singular P tal que P^-1 A P seja uma matriz diagonal:
[lll1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3
ou seja, encontrar uma matriz invertível P tal que
P^-1 A P = D
seja diagonal. O conteúdo principal aqui é a diagonalização de matrizes, que exige cálculo de autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios).

Passo 2

Vamos primeiro achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A - lambda I).
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 2 0 & 1-lambda & 0 0 & 1 & 3-lambda
Expandindo pela primeira linha, observamos que apenas o primeiro termo contribui não nulo:
chiA(lambda) = (1-lambda)det1-lambda & 0[6pt]1 & 3-lambda = (1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)-0r) = (1-lambda)^2,(3-lambda)
Logo os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=3 (multiplicidade 1).]

Passo 3

Para lambda=1 resolvemos (A - I)x=0:
A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 ,
o que gera a única equação x2 + 2x3=0. Assim
x2 = -2x3, x1 livre,;x3 livre
Uma base para o espaço próprio de lambda=1 é, por exemplo,
v1 = 100, v2 = 0-21,
logo a multiplicidade geométrica é 2, igual à algébrica.

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A - 3I)x=0:
A - 3I = -2 & 1 & 2 0 & -2 & 0 0 & 1 & 0
Dessas linhas vem x2=0 e de -2x1+2x3=0 obtemos x1=x3. Uma base para esse autovalor é
v3 = 101

Passo 5

Como temos três autovetores linearmente independentes v1,v2,v3, a matriz é diagonalizável. Definimos
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 ,
então
P^-1 A P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz
P = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1
satisfaz P^-1AP = diag(1,1,3).

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