Dois vértices de um polígono de quatro lados coincidem com os focos da elipse 9 x^2+5 y^2=1 e os outros dois com os vértices do eixo menor da elipse. Calcule a área do polígono.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
9x^2+5y^2=1
e pede a área do quadrilátero cujos dois vértices são os focos da elipse e os outros dois são os vértices do eixo menor.
Conteúdo: forma canônica da elipse, cálculo de distância focal e uso da fórmula de área de polígono (shoelace).

Passo 2

Colocamos a elipse em forma padrão
x^2a^2+y^2b^2=1
Como
9x^2+5y^2=1Longrightarrow x^21/9+y^21/5=1,
temos
a^2=19, b^2=15
Aqui b^2>a^2, logo o eixo maior é vertical e o menor é horizontal.

Passo 3

A distância focal c satisfaz
c=raizb^2-a^2 =raiz15-19 =raiz445 =23raiz5 =2raiz515

Passo 4

Os vértices do quadrilátero são, então,
– focos: l(0,pm cr),
– vértices do eixo menor: l(pm a,0r) com a=1/3.

Passo 5

Ordenando os vértices em círculo como
(0,c),;(a,0),;(0,-c),;(-a,0),
a fórmula do “shoelace” dá área
Área =12l|sumi=1^4(xi yi+1-xi+1yi)r| =2,a,c Á

Passo 6

Substituindo a=tfrac13 e c=tfrac2raiz515 obtemos
Área =2cdot13cdot2raiz515 =4raiz545 Á

Resposta

A área do polígono é 4raiz545.

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