Para matrizes quadradas
definimos o traço de
como a soma dos elementos da diagonal principal de
, ou seja,
.
a) Se
é uma matriz de ordem 3 , mostre que
quando
.
b) Se
é uma matriz de ordem 3 tal que
, então
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com entradas reais
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
. - (b) Mostrar que se
então .
Informações relevantes fornecidas:
-
é de ordem , ou seja os índices variam em . - As entradas são números reais (isso será importante porque quadrados de reais são
). - A definição do traço:
para uma matriz .
Passo 2
Lembrando duas fórmulas básicas de multiplicação e transposição de matrizes (vou explicar o que cada índice significa):
- Se
e são matrizes compatíveis para multiplicação, então o elemento na linha e coluna do produto é
Aqui
indica a linha do produto,
a coluna do produto, e a soma em
percorre as colunas de
e linhas de
que se combinam.
- Para a transposta
valem . Ou seja, a linha e coluna de é o elemento da linha e coluna de .
Passo 3
Agora aplico essas fórmulas ao produto
. Vou calcular o elemento diagonal genérico
(mesmo índice na linha e coluna):
Usando
isso vira
Explicando: para cada linha
da matriz
, o elemento diagonal correspondente do produto
é a soma dos quadrados dos elementos dessa linha.
Passo 4
Usando a definição do traço como soma dos elementos diagonais, obtemos
Interpretação: a traço de
é exatamente a soma dos quadrados de todos os nove elementos de
.
Passo 5
Concluo a partir da expressão anterior:
- Como cada termo
é um quadrado de número real, vale . Logo a soma de termos não-negativos também é não-negativa. Assim
Isto prova a parte (a). (Comentário rápido e amigo: é como somar nove quadradinhos — cada quadrado é
, então a soma não pode ser negativa.)
Passo 6
Para a parte (b), suponha que
. Então todos os elementos diagonais de
são zero. Da fórmula do passo 3, para cada
temos
Cada soma
é uma soma de termos não-negativos. Se uma soma de termos não-negativos é zero, então cada termo da soma deve ser zero. Portanto para todo
e todo
vale
, o que implica
. Como isso vale para todos os índices, todos os nove elementos de
são zero, logo
.
Resposta
(a)
(b) Se então
.
(b) Se