Para matrizes quadradas A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} definimos o traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}.
a) Se A é uma matriz de ordem 3 , mostre que \operatorname{tr}\left(A A^{T}\right) \geq 0 quando a_{i j} \in \mathbb{R}.
b) Se A é uma matriz de ordem 3 tal que A A^{T}=\mathbf{0}_{3}, então A=\mathbf{0}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(a_{ij})_{3\times3} com entradas reais a_{ij}\in\mathbb{R} e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que \operatorname{tr}\!\left(A A^{T}\right)\geq 0.
  • (b) Mostrar que se A A^{T}=\mathbf{0}_{3} então A=\mathbf{0}_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é de ordem 3, ou seja os índices i,j variam em \{1,2,3\}.
  • As entradas são números reais (isso será importante porque quadrados de reais são \ge 0).
  • A definição do traço: \operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{3} m_{ii} para uma matriz M 3\times3.

Passo 2

Lembrando duas fórmulas básicas de multiplicação e transposição de matrizes (vou explicar o que cada índice significa):
  • Se B e C são matrizes compatíveis para multiplicação, então o elemento na linha i e coluna j do produto BC é
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,c_{kj}.
Aqui i indica a linha do produto, j a coluna do produto, e a soma em k percorre as colunas de B e linhas de C que se combinam.
  • Para a transposta A^{T} valem (A^{T})_{pq}=a_{qp}. Ou seja, a linha p e coluna q de A^{T} é o elemento da linha q e coluna p de A.

Passo 3

Agora aplico essas fórmulas ao produto A A^{T}. Vou calcular o elemento diagonal genérico (A A^{T})_{ii} (mesmo índice na linha e coluna):
(A A^{T})_{ii}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,(A^{T})_{ki}.
Usando (A^{T})_{ki}=a_{ik} isso vira
(A A^{T})_{ii}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,a_{ik}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}^{2}.
Explicando: para cada linha i da matriz A, o elemento diagonal correspondente do produto A A^{T} é a soma dos quadrados dos elementos dessa linha.

Passo 4

Usando a definição do traço como soma dos elementos diagonais, obtemos
\operatorname{tr}\!\left(A A^{T}\right)=\sum_{i=1}^{3} (A A^{T})_{ii} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} a_{ik}^{2} =\sum_{i,k=1}^{3} a_{ik}^{2}.
Interpretação: a traço de A A^{T} é exatamente a soma dos quadrados de todos os nove elementos de A.

Passo 5

Concluo a partir da expressão anterior:
  • Como cada termo a_{ik}^{2} é um quadrado de número real, vale a_{ik}^{2}\ge 0. Logo a soma de termos não-negativos também é não-negativa. Assim
\operatorname{tr}\!\left(A A^{T}\right)=\sum_{i,k=1}^{3} a_{ik}^{2}\ge 0.
Isto prova a parte (a). (Comentário rápido e amigo: é como somar nove quadradinhos — cada quadrado é \ge0, então a soma não pode ser negativa.)

Passo 6

Para a parte (b), suponha que A A^{T}=\mathbf{0}_{3}. Então todos os elementos diagonais de A A^{T} são zero. Da fórmula do passo 3, para cada i temos
0=(A A^{T})_{ii}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}^{2}.
Cada soma \sum_{k=1}^{3} a_{ik}^{2} é uma soma de termos não-negativos. Se uma soma de termos não-negativos é zero, então cada termo da soma deve ser zero. Portanto para todo i e todo k vale a_{ik}^{2}=0, o que implica a_{ik}=0. Como isso vale para todos os índices, todos os nove elementos de A são zero, logo A=\mathbf{0}_{3}.

Resposta

(a) \operatorname{tr}\!\left(A A^{T}\right)=\sum_{i,k=1}^{3} a_{ik}^{2}\ge 0.
(b) Se A A^{T}=\mathbf{0}_{3} então A=\mathbf{0}_{3}.

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