Calcule a integral
com precisão menor que
.
Fórmula:
Fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
com uma precisão menor que
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de séries de potências para aproximar funções. Vamos usar a expansão em série de Taylor para
e integrar termo a termo até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor para
:
Isso significa que podemos substituir
na integral por essa série infinita.
Passo 3
Substituindo a série na integral, temos:
Podemos trocar a integral e a soma (desde que a série convirja):
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Então, a soma fica:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a contribuição de um novo termo seja menor que
.
Vamos calcular termo a termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
O próximo termo para
será aproximadamente
, que já é menor que
. Portanto, podemos parar aqui.
Resposta
Somando os termos calculados:
Portanto, a integral
é aproximadamente
com precisão menor que
.