Calcule a integral integral0^2 x^3 cos (x) d x com precisão menor que 10^-4.
Fórmula: cos (x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral0^2 x^3 cos(x) , dx com uma precisão menor que 10^-4. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de séries de potências para aproximar funções. Vamos usar a expansão em série de Taylor para cos(x) e integrar termo a termo até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor para cos(x):
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Isso significa que podemos substituir cos(x) na integral por essa série infinita.

Passo 3

Substituindo a série na integral, temos:
integral0^2 x^3 cos(x) , dx = integral0^2 x^3 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! ) dx
Podemos trocar a integral e a soma (desde que a série convirja):
= sumn=0^infty (-1)^n 1(2n)! integral0^2 x^3 + 2n , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar x^3 + 2n:
integral0^2 x^3 + 2n , dx = [ x^4 + 2n4 + 2n ]0^2 = 2^4 + 2n4 + 2n
Então, a soma fica:
sumn=0^infty (-1)^n 2^4 + 2n(2n)! (4 + 2n)

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a contribuição de um novo termo seja menor que 10^-4.
Vamos calcular termo a termo:
Para n = 0:
(-1)^0 2^40! (4) = 164 = 4
Para n = 1:
(-1)^1 2^62! (6) = -642 times 6 = -6412 = -53
Para n = 2:
(-1)^2 2^84! (8) = 25624 times 8 = 256192 approx 1.3333
Para n = 3:
(-1)^3 2^106! (10) = -1024720 times 10 = -10247200 approx -0.1422
Para n = 4:
(-1)^4 2^128! (12) = 409640320 times 12 approx 0.0085
O próximo termo para n = 5 será aproximadamente -0.0005, que já é menor que 10^-4. Portanto, podemos parar aqui.

Resposta

Somando os termos calculados:
4 - 53 + 1.3333 - 0.1422 + 0.0085 approx -0.1424
Portanto, a integral integral0^2 x^3 cos(x) , dx é aproximadamente -0.1424 com precisão menor que 10^-4.

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