Ache o ponto da intersecção dos planos x+3 y- 2 z=11 e 2 x-y+z=3 mais próximo da origem

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos ,x+3y-2z=11 e ,2x-y+z=3 que fica mais próximo da origem. Isso é geometria analítica em R^3: vamos achar a reta de interseção via produto vetorial dos vetores normais e um ponto em comum, depois expressar a reta parametricamente e minimizar a distância ao quadrado usando derivada.

Passo 2

Os vetores normais são n1=(1,3,-2) e n2=(2,-1,1). A direção da reta é dada pelo produto vetorial
d = n1 times n2 = 13-2 times 2-11 = 1-5-7

Passo 3

Para achar um ponto
Da segunda vem . Assim escolho

Passo 4

A reta de interseção tem equação paramétrica
P(t)=P0+t,d =tfrac207[3pt]tfrac197[3pt]0 +t1[3pt]-5[3pt]-7
Para minimizar a distância ao ponto origem, considero a função
f(t)=|P(t)|^2 =l(tfrac207+tr)^2+l(tfrac197-5tr)^2+(-7t)^2,
e imponho f'(t)=0.]

Passo 5

Calculando f'(t):
f'(t) =2l(tfrac207+tr)cdot1 +2l(tfrac197-5tr)cdot(-5) +2(-7t)cdot(-7) =2l(-tfrac757+75tr)
Assim f'(t)=0
-tfrac757+75t=0 Longrightarrow t=17
Substituindo em P(t) obtemos
Pl(tfrac17r)=(3,2,-1)

Resposta

(3,2,-1)

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