Determine a solução das seguintes equações diferenciais lineares de 2^circ ordem:
y^prime prime+6 y^prime+5 y=0, y(0)=1 e y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 6y' + 5y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
r^2 + 6r + 5 = 0
Resolvendo-a, obtemos as raízes que determinam a forma geral da solução.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = 6^2 - 4cdot1cdot5 = 36 - 20 = 16,
logo as raízes são
r = -6 pm raiz162 = -6 pm 42
Assim,
r1 = -1, r2 = -5

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-5t

Passo 5

Derivamos y(t) para usar a condição y'(0)=1:
y'(t) = -C1 e^-t - 5C2 e^-5t

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y(0) = C1 + C2 = 1,
y'(0) = -C1 - 5C2 = 1

Passo 7

Resolvemos o sistema para C1 e C2. Da primeira equação C1 = 1 - C2. Substituindo na segunda:
-(1 - C2) - 5C2 = 1 Rightarrow -1 + C2 - 5C2 = 1 Rightarrow -4C2 = 2 Rightarrow C2 = -tfrac12
Então C1 = 1 - (-tfrac12) = tfrac32.

Passo 8

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t) = 32 e^-t - 12 e^-5t

Resposta

y(t) = 32 e^-t - 12 e^-5t

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