Teste o teorema de Stokes
para
para
Passo 1
O enunciado pede para testar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e para a superfície
dada pelo cone
,
. Vamos usar Stokes:
. Para resolver, precisamos achar a curva limite
, parametrizar e calcular a integral de linha, depois calcular o rotacional
e a integral de superfície.
Passo 2
A curva
é a interseção do cone com o plano
, ou seja o círculo
em
. Uma parametrização conveniente é
O vetor diferencial é
Passo 3
Substituindo na integral de linha:
e
Como
a integral de linha se anula:
Passo 4
Agora calculamos o rotacional
Parametrizando a superfície pelo cone
temos
e substituindo, mostra-se que
é função cujo integrável em
de
a
é zero por periodicidade e simetria. Logo
Passo 5
Como ambas as integrais (de linha e de superfície) dão zero, o Teorema de Stokes está confirmado para este caso.
Resposta
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