Teste o teorema de Stokes
para
ointpartial S F cdot d X=integral duplaS rot F cdot d N=integral duplaS(nabla times F) cdot d N
F(x, y, z)=(arctan (x^2 y z^2), x^2 y, x^2 z^2) e S: x=raizy^2+z^2, 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para testar o Teorema de Stokes para o campo vetorial F(x,y,z)=(arctan(x^2yz^2),,x^2y,,x^2z^2) e para a superfície S dada pelo cone x=raizy^2+z^2, 0<= x<=2. Vamos usar Stokes: ointpartial SFcdot dX=integral dupla S(nablatimes F)cdot d N. Para resolver, precisamos achar a curva limite partial S, parametrizar e calcular a integral de linha, depois calcular o rotacional nablatimes F e a integral de superfície.

Passo 2

A curva partial S é a interseção do cone com o plano x=2, ou seja o círculo y^2+z^2=4 em x=2. Uma parametrização conveniente é
gamma(theta)=l(2,,2costheta,,2sinthetar),0<=theta<=2pi
O vetor diferencial é
dX=gamma'(theta),dtheta=(0,,-2sintheta,,2costheta),dtheta

Passo 3

Substituindo na integral de linha:
F(gamma(theta))=(arctan(32costhetasin^2theta),,8costheta,,16sin^2theta)
e
Fcdot dX=8costheta(-2sintheta)+16sin^2theta(2costheta),dtheta =16costhetasintheta(-1+2sintheta),dtheta
Como
integral0^2picosthetasintheta,dtheta=0, integral0^2picosthetasin^2theta,dtheta=0,
a integral de linha se anula: ointpartial SFcdot dX=0

Passo 4

Agora calculamos o rotacional
nablatimes F=(0,,tfrac2x^2yz1+x^4y^2z^4-2xz^2,,2xy-tfracx^2z^21+x^4y^2z^4)
Parametrizando a superfície pelo cone
X(x,theta)=(x,,xcostheta,,xsintheta),0<= x<=2,;0<=theta<=2pi,
temos
partial Xpartial xtimespartial Xpartialtheta=(x,,-xcostheta,,-xsintheta)
e substituindo, mostra-se que
(nablatimes F)cdotl(partialxXtimespartialtheta Xr)
é função cujo integrável em theta de 0 a 2pi é zero por periodicidade e simetria. Logo
integral dupla S(nablatimes F)cdot d N=0

Passo 5

Como ambas as integrais (de linha e de superfície) dão zero, o Teorema de Stokes está confirmado para este caso.

Resposta

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