Troque a ordem da integração em integral0^1 integralx^1 e^xy d y d x para efetuá-la.

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração da integral dupla integral0^1 integralx^1 e^xy,dy,dx. O conteúdo aqui é integração dupla e troca de ordem, então primeiro a gente precisa entender a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

A região R vem de 0 ≤ x ≤ 1 e x y ≤ 1. Geometricamente é o triângulo acima da bissetriz y=x e abaixo de y=1, entre x=0 e x=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, a gente nota que, ao longo de , o valor mínimo de é 0 (quando ) e o máximo é 1. Para cada fixo, varia de 0 até . Assim obtemos

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em x. Sabemos que a antiderivada de e^x/y em relação a x é y e^x/y. Logo,
integral0^y e^xy,dx = l[y e^xyr]x=0^x=y = yl(e^1-e^0r) = y(e-1)

Passo 5

Finalmente integramos em y:
integral0^1 y(e-1),dy = (e-1)integral0^1 y,dy = (e-1)cdot12 = e-12

Resposta

e-12

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