Determine uma função f tal que F=nabla f e use a parte SCA 27. (a) para calcular integralC F " d r sobre a curva C dada.
F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j,
C é o arco da hipérbole y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8)

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f(x,y) tal que
nabla f = F, F(x,y)=x y^2,i+x^2y,j,
e em seguida usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos (parte SCA 27(a)) para calcular
integralCFcdot dr,
onde C é o arco da curva y=2x^2 de (-1,2) até (2,8).

Passo 2

Para encontrar f, integramos a componente x de F:
partial fpartial x=x y^2 ;Longrightarrow; f(x,y)=integral x y^2,dx =tfrac12x^2y^2+g(y),
onde g(y) é uma “constante” em relação a x. Agora forçamos
partial fpartial y =partialpartial yl(tfrac12x^2y^2+g(y)r) =x^2y+g'(y)
e isso deve coincidir com a segunda componente de F, que é x^2y. Logo
g'(y)=0 ;Longrightarrow; g(y)=constante
Podemos escolher essa constante igual a zero, obtendo
f(x,y)=tfrac12x^2y^2

Passo 3

Como F é campo conservativo com potencial f, o teorema fundamental dá
integralCFcdot dr =fl(x(2),y(2)r)-fl(x(1),y(1)r),
isto é, basta avaliar f nos pontos finais de C: (-1,2) e (2,8).

Passo 4

Calculamos
f(2,8)=tfrac12,(2)^2,(8)^2 =tfrac12cdot4cdot64 =128,
f(-1,2)=tfrac12,(-1)^2,(2)^2 =tfrac12cdot1cdot4 =2
Portanto
integralCFcdot dr =128-2 =126

Resposta

126

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