Ache os pontos críticos de f nos seguintes casos: f(x, y) = e^(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve usar derivadas parciais para ver onde a função não está mudando em nenhuma direção. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis, mantendo a outra fixinha.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
E agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, pra achar os pontos críticos, a gente precisa encontrar onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero ao mesmo tempo. Ou seja, resolver o sistema:

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação:
Como nunca é zero (exponencial de qualquer número é sempre positivo), a única maneira desse produto ser zero é se .
  1. Segunda equação:
Novamente, não é zero, então necessariamente .

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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