Considere a função
, com
.
Defina
de modo que a função f seja contínua em
.
Defina
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função
para
. Nosso objetivo é definir o valor de
de uma forma que a função seja contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites, especialmente quando estamos lidando com a função logarítmica
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
, ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
, então precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso significa que precisamos encontrar:
Note que usamos
porque
só está definida para
.
Passo 4
Vamos analisar o limite:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, e
tende a
. Então temos uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 5
Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos reescrever o limite assim:
Agora, temos uma forma
, que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se
for uma indeterminação do tipo
ou
, então:
Passo 6
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 7
Encontramos que o limite de
quando
se aproxima de 0 é 0:
Para que a função seja contínua em
, devemos definir
igual a esse limite.
Resposta
Portanto, para que a função
seja contínua em
, devemos definir
.