Considere a função f(x) = x^2 * ln(x), com x >= 0.
Defina f(0) de modo que a função f seja contínua em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função para . Nosso objetivo é definir o valor de de uma forma que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites, especialmente quando estamos lidando com a função logarítmica .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função em , ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso significa que precisamos encontrar:
Note que usamos porque só está definida para .

Passo 4

Vamos analisar o limite:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, e tende a . Então temos uma forma indeterminada do tipo .

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Podemos reescrever o limite assim:
Agora, temos uma forma , que ainda é indeterminada, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se for uma indeterminação do tipo ou , então:

Passo 6

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 7

Encontramos que o limite de quando se aproxima de 0 é 0:
Para que a função seja contínua em , devemos definir igual a esse limite.

Resposta

Portanto, para que a função seja contínua em , devemos definir .

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