Considere a função
, com
.
Faça o gráfico de f(x), apresentando todos os detalhes referentes ao roteiro completo para a elaboração do esboço de gráfico de funções reais.
Faça o gráfico de f(x), apresentando todos os detalhes referentes ao roteiro completo para a elaboração do esboço de gráfico de funções reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função
para
. O objetivo é fazer o gráfico dessa função, seguindo um passo a passo detalhado para entender cada parte do processo. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções, derivadas e comportamento de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Aqui, temos
, que só existe para
. Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
- Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Mas como o domínio é , não precisamos nos preocupar com isso. - Interseção com o eixo x: ocorre quando
. Então, resolvemos . Como nunca é zero para , isso acontece quando . Sabemos que , então a interseção com o eixo x é no ponto .
Passo 4
Vamos determinar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando
tende a valores específicos.
-
Quando
tende a 0 pelo lado positivo ( ): -
tende a 0. -
tende a . - O produto
tende a 0, já que domina.
-
-
Quando
tende a : -
tende a . -
também tende a . - O produto tende a
.
-
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, encontramos a primeira derivada
usando a regra do produto:
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
, temos:
Passo 6
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada
:
Avaliar
no ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de mínimo.
Passo 7
Vamos calcular o valor da função nesse ponto de mínimo:
Passo 8
Agora, vamos resumir as informações que temos para esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interseção com o eixo x:
- Comportamento:
-
quando -
quando
-
- Ponto de mínimo:
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de
:
- Inicia perto do ponto (0, 0), movendo-se ligeiramente para baixo até o ponto de mínimo em
, onde o valor de . - Passa pelo ponto (1, 0), que é a interseção com o eixo x.
- Após o ponto (1, 0), a função cresce continuamente, dirigindo-se para
conforme aumenta.
O gráfico terá uma curva que desce ligeiramente de
até o ponto de mínimo e, em seguida, sobe continuamente passando por
em direção ao infinito positivo.