Considere a função f(x) = x^2 * ln(x), com x >= 0.
Faça o gráfico de f(x), apresentando todos os detalhes referentes ao roteiro completo para a elaboração do esboço de gráfico de funções reais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função para . O objetivo é fazer o gráfico dessa função, seguindo um passo a passo detalhado para entender cada parte do processo. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções, derivadas e comportamento de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos , que só existe para . Portanto, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando . Mas como o domínio é , não precisamos nos preocupar com isso.
  • Interseção com o eixo x: ocorre quando . Então, resolvemos . Como nunca é zero para , isso acontece quando . Sabemos que , então a interseção com o eixo x é no ponto .

Passo 4

Vamos determinar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando tende a valores específicos.
  • Quando tende a 0 pelo lado positivo ( ):
    • tende a 0.
    • tende a .
    • O produto tende a 0, já que domina.
  • Quando tende a :
    • tende a .
    • também tende a .
    • O produto tende a .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, encontramos a primeira derivada usando a regra do produto:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Como , temos:

Passo 6

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada :
Avaliar no ponto :
Como , o ponto é um ponto de mínimo.

Passo 7

Vamos calcular o valor da função nesse ponto de mínimo:

Passo 8

Agora, vamos resumir as informações que temos para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interseção com o eixo x:
  • Comportamento:
    • quando
    • quando
  • Ponto de mínimo:

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de :
  1. Inicia perto do ponto (0, 0), movendo-se ligeiramente para baixo até o ponto de mínimo em , onde o valor de .
  2. Passa pelo ponto (1, 0), que é a interseção com o eixo x.
  3. Após o ponto (1, 0), a função cresce continuamente, dirigindo-se para conforme aumenta.
O gráfico terá uma curva que desce ligeiramente de até o ponto de mínimo e, em seguida, sobe continuamente passando por em direção ao infinito positivo.

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