Ache os pontos da curva y=4 x^3-x^2-4 x+5 nos quais a tangente é horizontal

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = 4x^3 - x^2 - 4x + 5
onde a reta tangente é horizontal. Isso significa que precisamos achar onde a derivada primeira dydx é zero. Vamos usar a regra do poder para derivar e, em seguida, resolver a equação dydx=0.

Passo 2

Calcular a derivada de y em relação a x. Aplicando a regra do poder termo a termo:
dydx = ddxl(4x^3r) - ddxl(x^2r) - ddxl(4xr) + ddx(5) = 12x^2 - 2x - 4

Passo 3

Para tangente horizontal, impomos
dydx = 0 Longrightarrow 12x^2 - 2x - 4 = 0
Dividindo tudo por 2, obtemos
6x^2 - x - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, com a=6, b=-1, c=-2, o discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot6cdot(-2) = 1 + 48 = 49,
de onde
x = 1 pm raiz492cdot6 = 1 pm 712 ;Longrightarrow; x = 812 = 23, x = -612 = -tfrac12

Passo 4

Encontrar as ordenadas ( y) correspondentes a cada raiz:
  1. Para x = tfrac23:
yl(tfrac23r) = 4l(tfrac23r)^3 - l(tfrac23r)^2 - 4l(tfrac23r) + 5 = 3227 - 49 - 83 + 5 = 8327
  1. Para x = -tfrac12:
yl(-tfrac12r) = 4l(-tfrac12r)^3 - l(-tfrac12r)^2 - 4l(-tfrac12r) + 5 = -tfrac12 - tfrac14 + 2 + 5 = tfrac254

Passo 5

Portanto, os pontos onde a tangente é horizontal são
l(tfrac23, ,tfrac8327r) e l(-tfrac12, ,tfrac254r)

Resposta

l(tfrac23,,tfrac8327r) e l(-tfrac12,,tfrac254r).

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