Considere a função f(x)=x^3-1. Esboce da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1,-2). Calcule a derivada de f, usando a definição de derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3-1 e pede duas coisas: (1) calcular a derivada de f usando a definição de derivada, e (2) esboçar a reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(-1,-2). Vamos usar a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
para obter f'(x) e então encontrar o coeficiente angular em x=-1 e a equação da reta.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada em x qualquer, temos
f'(x) =limhto0(x+h)^3-1 ;-;(x^3-1)h =limhto0x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-1 -x^3+1h =limhto03x^2h+3xh^2+h^3h
Cancelando h, fica
f'(x)=limhto0l(3x^2+3xh+h^2r)=3x^2

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente em x0=-1 é
m=f'(-1)=3l(-1r)^2=3

Passo 4

A equação da reta tangente que passa por P=(-1,-2) com coeficiente m=3 usa a forma ponto-declive:
y-(-2)=3l(x-(-1)r) ;Longrightarrow; y+2=3(x+1) ;Longrightarrow; y=3x+3-2 ;Longrightarrow; y=3x+1

Passo 5

Para esboçar essa reta, marque o ponto P=(-1,-2) e outro ponto da reta, por exemplo em x=0 temos y=1, isto é (0,1). Ligue esses pontos com uma reta de inclinação positiva bem acentuada (ângulo cujo tan é 3). Essa é a reta tangente ao cubo em (-1,-2).

Resposta

A derivada é
f'(x)=3x^2,
e a reta tangente em (-1,-2) é
y=3x+1

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