Calcule as integrais:
integral sec ^2 2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função sec^2(2theta). Isso envolve usar a ideia de substituição para aproveitar que a derivada de tan(u) é sec^2(u).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2theta
de modo que
dudtheta = 2 Longrightarrow dtheta = du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral sec^2(2theta),dtheta = integral sec^2(u),du2 = 12integral sec^2(u),du

Passo 4

Sabemos que
ddul[tan(u)r] = sec^2(u),
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integral sec^2(u),du = tan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original theta, substituímos u=2theta:
12integral sec^2(u),du = 12tan(u) + C = 12tan(2theta) + C

Resposta

integral sec^2(2theta),dtheta = 12tan(2theta) + C

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