Calcule lim x infty(1+ax)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(1+axr)^x,
que é um limite do tipo indeterminado 1^infty. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica e o limite notável
limuto 0ln(1+u)u=1

Passo 2

Definimos
y = l(1+axr)^x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln y = x,ln!l(1+axr)

Passo 3

Quando xtoinfty, temos axto 0. Usando
limuto0ln(1+u)u=1,
com u=ax, segue que
ln!l(1+axr)sim ax Longrightarrow x,ln!l(1+axr)sim xcdotax=a
Portanto
limxtoinftyln y = a

Passo 4

Como a exponencial é contínua, aplicamos e^(cdot) ao limite do logaritmo e concluímos
limxtoinftyy =limxtoinftye^ln y =e^a

Resposta

e^a

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