Calcule f^prime(x) para f(x)=x^2-1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2-1x^2+1
O conteúdo é derivação de uma função racional, para o qual vamos usar a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Identificamos
g(x)=x^2-1 e h(x)=x^2+1
A regra do quociente diz:
ddxl(g(x)h(x)r) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte usando a regra da potência e de constante:
g'(x)=ddx(x^2-1)=2x, h'(x)=ddx(x^2+1)=2x

Passo 4

Substituímos na fórmula do quociente:
f'(x) =2x,(x^2+1)-(x^2-1),2x(x^2+1)^2

Passo 5

No numerador, fatoramos e simplificamos:
2x(x^2+1)-2x(x^2-1) =2x^3+2x-2x^3+2x =4x
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f'(x)=4x(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=4x(x^2+1)^2

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