Ache os pontos da curva C em que a tangente é horizontal ou vertical.
x=t^3+1, y=t^2-2 t ; t em R (exercício 13.2-13 livro: swokowski)

Passo 1

A curva C é dada parametricamente por x(t)=t^3+1 e y(t)=t^2-2t. Vamos estudar tangentes horizontais e verticais usando derivadas paramétricas: a inclinação da tangente é dada por dydx=dy/dtdx/dt, então precisamos de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t. Temos:
dxdt=3t^2
dydt=2t-2

Passo 3

Para achar pontos de tangente horizontal, impomos dydx=0, ou seja, dy/dt=0 com dx/dtneq0. Resolvendo:
2t-2=0implies t=1
Neste valor dx/dt=3cdot1^2=3neq0, logo há tangente horizontal em t=1. O ponto é: x=1^3+1=2, y=1^2-2cdot1=-1

Passo 4

Para achar pontos de tangente vertical, impomos dx/dt=0 com dy/dtneq0. Resolvendo:
3t^2=0implies t=0
Neste valor dy/dt=2cdot0-2=-2neq0, logo há tangente vertical em t=0. O ponto é: x=0^3+1=1, y=0^2-2cdot0=0

Resposta

Tangente horizontal em (2,,-1) e tangente vertical em (1,,0).

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