Provar que as equações seguintes tem pelo menos uma raiz real :
1-x^2=raizx

Passo 1

Aqui o que a gente quer é mostrar que a equação 1 - x^2 = raizx tem pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função fcolon [0,infty) to R por f(x) = 1 - x^2 - raizx. Como x^2 e raizx são funções contínuas em [0,infty), a soma e a subtração também são contínuas, logo f é contínua em [0,infty).

Passo 3

Vamos avaliar f em dois pontos simples. Primeiro em x = 0: f(0) = 1 - 0 - 0 = 1 > 0. Depois em x = 1: f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0. Aqui vimos que f(0) é positivo e f(1) é negativo.

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e seus valores em 0 e 1 têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe algum c em (0,1) tal que f(c) = 0. Isso mostra que a equação original tem pelo menos uma raiz real.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real da equação no intervalo (0,1).

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