Provar que as equações seguintes tem pelo menos uma raiz real :
Passo 1
Aqui o que a gente quer é mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
por
. Como
e
são funções contínuas em
, a soma e a subtração também são contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 3
Vamos avaliar
em dois pontos simples. Primeiro em
:
. Depois em
:
. Aqui vimos que
é positivo e
é negativo.
Passo 4
Como
é contínua em
e seus valores em
e
têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe algum
em
tal que
. Isso mostra que a equação original tem pelo menos uma raiz real.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real da equação no intervalo
.