Use a Definição 3.1.1 para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=z-1z

Passo 1

O exercício pede pra gente calcular a derivada complexa de uma função usando a definição de derivada (Definição 3.1.1). A função é f(z)=z-tfrac1z, e a ideia é usar o limite do quociente de diferenças para encontrar f'(z).

Passo 2

Pela Definição 3.1.1, temos que
f'(z)=limhto0f(z+h)-f(z)h

Passo 3

Vamos então calcular f(z+h):
f(z+h)=(z+h)-1z+h

Passo 4

O quociente de diferenças fica
f(z+h)-f(z)h=l[(z+h)-tfrac1z+hr]-l[z-tfrac1zr]h

Passo 5

Agora separamos em duas parcelas: a do termo z e a do termo 1/z:
(z+h)-zh+-tfrac1z+h+tfrac1zh = 1 + tfrac1z-tfrac1z+hh

Passo 6

Simplificando a diferença de frações no numerador da segunda parte:
1z-1z+h=(z+h)-zz(z+h)=hz(z+h)

Passo 7

Então essa parte vira
tfrachz(z+h)h=1z(z+h)

Passo 8

Por fim, ao fazermos hto0, temos z+hto z, logo
limhto01z(z+h)=1z^2

Passo 9

Reunindo tudo,
f'(z)=1+1z^2

Resposta

f'(z)=1+tfrac1z^2

Exercícios relacionados