Ache os pontos da curva
nos quais a tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: “Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O que se busca são os pontos
onde a reta tangente à curva tem inclinação horizontal (ou seja, declive zero).
Passo 2
O que significa “tangente horizontal” na linguagem de cálculo?
- A reta tangente a uma curva em um ponto tem coeficiente angular igual à derivada da função naquele ponto.
- Portanto, tangente horizontal significa que a derivada da função naquele ponto vale zero.
Em fórmula: se, tangente horizontal ocorre quando .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso precisamos usar duas ideias:
- Derivada da função seno: se
é uma função de , então . Ou seja, a derivada da é o vezes a derivada do argumento. - Aqui o argumento é
. A derivada de é . (Isto é aplicação direta da regra da derivada de uma função linear.)
Passo 4
Aplicando as ideias do passo anterior:
Portanto
Expliquei:
vem da derivada da seno e o fator
vem da derivada interna de
.
Passo 5
Agora impomos a condição de tangente horizontal:
Como
, isso é equivalente a
Precisamos resolver esta equação para
.
Passo 6
Onde a cosseno é zero? A função
quando
porque os zeros do cosseno ocorrem a cada
e o primeiro positivo é
. Substituindo
obtemos
Dividindo por
,
Passo 7
Precisamos também dar a coordenada
correspondente a cada
. Substituímos na função:
Usando a identidade
, concluímos que
(Isto significa que os pontos alternam entre
e
.)
Passo 8
Para ficar mais concreto, alguns pontos com pequenos valores de
:
-
: , → ponto . -
: , → ponto . -
: , → ponto .
E assim por diante, com espaçamento entre abscissas igual a.