Ache os pontos da curva y=\operatorname{sen}(3 x) nos quais a tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\operatorname{sen}(3x) e pede: “Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.”
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=\operatorname{sen}(3x).
  • O que se busca são os pontos (x,y) onde a reta tangente à curva tem inclinação horizontal (ou seja, declive zero).

Passo 2

O que significa “tangente horizontal” na linguagem de cálculo?
  • A reta tangente a uma curva em um ponto tem coeficiente angular igual à derivada da função naquele ponto.
  • Portanto, tangente horizontal significa que a derivada da função naquele ponto vale zero.
    Em fórmula: se y=f(x), tangente horizontal ocorre quando \dfrac{dy}{dx}=0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y=\operatorname{sen}(3x). Para isso precisamos usar duas ideias:
  1. Derivada da função seno: se u é uma função de x, então \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u)\bigr)=\cos(u)\cdot \dfrac{du}{dx}. Ou seja, a derivada da \operatorname{sen} é o \cos vezes a derivada do argumento.
  2. Aqui o argumento é u(x)=3x. A derivada de u é \dfrac{du}{dx}=3. (Isto é aplicação direta da regra da derivada de uma função linear.)

Passo 4

Aplicando as ideias do passo anterior:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(3x)\bigr)=\cos(3x)\cdot 3.
Portanto
\frac{dy}{dx}=3\cos(3x).
Expliquei: \cos(3x) vem da derivada da seno e o fator 3 vem da derivada interna de 3x.

Passo 5

Agora impomos a condição de tangente horizontal:
\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3\cos(3x)=0.
Como 3\neq 0, isso é equivalente a
\cos(3x)=0.
Precisamos resolver esta equação para x.

Passo 6

Onde a cosseno é zero? A função \cos(\theta)=0 quando
\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque os zeros do cosseno ocorrem a cada \pi e o primeiro positivo é \pi/2. Substituindo \theta=3x obtemos
3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 3,
x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Precisamos também dar a coordenada y correspondente a cada x. Substituímos na função:
y=\operatorname{sen}(3x)=\operatorname{sen}\!\left(3\!\left(\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\right)\right) =\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right).
Usando a identidade \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^k, concluímos que
y = (-1)^k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Isto significa que os pontos alternam entre y=1 e y=-1.)

Passo 8

Para ficar mais concreto, alguns pontos com pequenos valores de k:
  • k=0: x=\frac{\pi}{6}, y=1 → ponto \left(\frac{\pi}{6},1\right).
  • k=1: x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}, y=-1 → ponto \left(\frac{\pi}{2},-1\right).
  • k=2: x=\frac{\pi}{6}+2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}, y=1 → ponto \left(\frac{5\pi}{6},1\right).
    E assim por diante, com espaçamento entre abscissas igual a \frac{\pi}{3}.

Resposta

\left\{\left(\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},\;(-1)^k\right)\mid k\in\mathbb{Z}\right\}

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