Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(x^{2}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f dada por
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+3\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a composição do logaritmo natural \ln(\cdot) com a função interna x^{2}+3.
  • Não há restrição aparente no enunciado sobre x (note que x^{2}+3>0 para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando uma regra fundamental (a explicação abaixo é para você entender bem como usar na prova):
  • Se tivermos uma função g(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), onde u(x) é uma função diferenciável, então a derivada de g é dada por
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação simples do porquê: se y=\ln u então e^{y}=u. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos e^{y}y' = u'(x). Como e^{y}=u, isso dá y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui:
  • u(x) é a função interna (o que está dentro do \ln);
  • u'(x) é a derivada dessa função interna.

Passo 3

Identificar a função interna e calcular sua derivada:
  • Tome u(x)=x^{2}+3. Aqui u(x) é a parte dentro do logaritmo.
  • Aplicando a regra da potência ao termo x^{2}: para h(x)=x^{n} vale h'(x)=n x^{n-1}. Para n=2 obtemos d/dx\,(x^{2})=2x.
  • Como a constante 3 tem derivada zero, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3\bigr)=2x.

Passo 4

Aplicar a fórmula do Passo 2 (derivada do \ln da composição) usando u(x) e u'(x) calculados:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+3}.
Isso já é a forma simplificada da derivada.

Passo 5

Observações finais e dica de prova:
  • A derivada está definida para todo x\in\mathbb{R}, porque x^{2}+3>0 nunca zera.
  • No exame, para funções do tipo \ln(\text{algo}), lembre-se de: (1) derivada do \ln é 1/(\text{algo}) e (2) multiplicar pela derivada do “algo” (regra da cadeia). Em uma única frase: d/dx\,\ln(u(x)) = u'(x)/u(x).
  • Exemplo rápido de checagem: para x=1, f'(1)=\dfrac{2\cdot 1}{1^{2}+3}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Isso ajuda a conferir se o resultado faz sentido numericamente.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+3}

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