Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a composição do logaritmo natural
com a função interna . - Não há restrição aparente no enunciado sobre
(note que para todo ).
Passo 2
Lembrando uma regra fundamental (a explicação abaixo é para você entender bem como usar na prova):
- Se tivermos uma função
, onde é uma função diferenciável, então a derivada de é dada por
Explicação simples do porquê: se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
. Como
, isso dá
. Aqui:
-
é a função interna (o que está dentro do ); -
é a derivada dessa função interna.
Passo 3
Identificar a função interna e calcular sua derivada:
- Tome
. Aqui é a parte dentro do logaritmo. - Aplicando a regra da potência ao termo
: para vale . Para obtemos . - Como a constante
tem derivada zero, então
Passo 4
Aplicar a fórmula do Passo 2 (derivada do
da composição) usando
e
calculados:
Isso já é a forma simplificada da derivada.
Passo 5
Observações finais e dica de prova:
- A derivada está definida para todo
, porque nunca zera. - No exame, para funções do tipo
, lembre-se de: (1) derivada do é e (2) multiplicar pela derivada do “algo” (regra da cadeia). Em uma única frase: . - Exemplo rápido de checagem: para
, . Isso ajuda a conferir se o resultado faz sentido numericamente.