Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\cos \left(5 t^{5}-7\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(t)=\cos\left(5 t^{5}-7\right) e pede para encontrar a sua derivada f'(t).
Informações relevantes dadas:
  • A função é composta: há uma função externa \cos(\cdot) aplicada a uma função interna 5 t^{5}-7.
  • Não há constantes adicionais além de 5 e -7.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar (cadeia). Se uma função é composta na forma f(t)=g(u(t)), então a derivada é dada por:
\frac{d}{dt}g(u(t))=g'(u(t))\cdot u'(t).
Aqui:
  • g é a função externa (no nosso caso g(x)=\cos x);
  • u(t) é a função interna (no nosso caso u(t)=5 t^{5}-7);
  • g'(u(t)) é a derivada da função externa avaliada em u(t);
  • u'(t) é a derivada da função interna em relação a t.
Também precisamos saber a derivada de \cos x e a regra do poder (power rule):
  • \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
  • Se h(t)=t^{n} então \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.

Passo 3

Identificamos a função externa e a interna:
g(x)=\cos x,\qquad u(t)=5 t^{5}-7.
Calculamos a derivada da função externa (regra direta):
g'(x)=-\sin x \quad\Rightarrow\quad g'(u(t))=-\sin\big(u(t)\big)=-\sin\big(5 t^{5}-7\big).

Passo 4

Agora calculamos a derivada da função interna u(t)=5 t^{5}-7. Usando a regra do poder e a linearidade da derivada:
\frac{d}{dt}\big(5 t^{5}\big)=5\cdot\frac{d}{dt}t^{5}=5\cdot(5 t^{4})=25 t^{4},
\frac{d}{dt}(-7)=0.
Portanto
u'(t)=25 t^{4}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia \dfrac{d}{dt}g(u(t))=g'(u(t))\cdot u'(t), obtemos:
f'(t)=-\sin\big(5 t^{5}-7\big)\cdot 25 t^{4}.
Simplificando a constante:
f'(t)=-25\,t^{4}\sin\big(5 t^{5}-7\big).

Passo 6

Checagem rápida com um caso mais simples: se tivéssemos \cos(3t), a mesma ideia dá -\sin(3t)\cdot 3 = -3\sin(3t). Aqui o padrão é igual: derivada da externa vezes derivada da interna. Mantém a calma na prova: identifique rapidamente externa/ interna, derivate cada uma e multiplique.

Resposta

-25 t^{4}\sin\big(5 t^{5}-7\big)

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