Ache os pontos
e as direções em que a derivada direcional de
tem seu valor máximo, sabendo-se que (
) está restrito ao círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos encontrar os pontos
no círculo
onde a derivada direcional de
é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Onde
é o gradiente de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais:
Passo 4
Como queremos maximizar a derivada direcional, precisamos maximizar o produto escalar
. Sabendo que
é um vetor unitário, o máximo valor que esse produto pode assumir é o módulo de
, ou seja:
Passo 5
Agora, queremos maximizar
sob a restrição
. Para facilitar, podemos maximizar
em vez da raiz, já que a função raiz é crescente.
Passo 6
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para maximizar
com a restrição
. Definimos a função Lagrangiana:
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais da
em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 8
Analisando as equações:
-
→ -
→ -
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
ou
, e
ou
.
Passo 9
Vamos explorar as possibilidades:
-
Caso 1:
- Da segunda equação:
→ - Substituindo na restrição:
→ - Pontos:
e
- Da segunda equação:
-
Caso 2:
- Da primeira equação:
→ - Substituindo na restrição:
→ - Pontos:
e
- Da primeira equação:
Passo 10
Agora, vamos verificar o valor de
em cada ponto:
- Em
e :
- Em
e :
O valor máximo ocorre nos pontos
e
.
Passo 11
Para encontrar as direções onde a derivada direcional é máxima, lembramos que ocorre na direção do gradiente
. Nos pontos
e
:
- Em
:
A direção é
(já que
é unitário).
- Em
:
A direção é
.
Resposta
Os pontos onde a derivada direcional de
atinge seu valor máximo no círculo
são
e
. As direções correspondentes são
e
, respectivamente.