Ache os pontos (x, y) e as direções em que a derivada direcional de f(x, y)=3 x^2+y^2 tem seu valor máximo, sabendo-se que ( x, y ) está restrito ao círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x, y) = 3x^2 + y^2 e queremos encontrar os pontos (x, y) no círculo x^2 + y^2 = 1 onde a derivada direcional de f é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função f na direção de um vetor unitário u = (ux, uy) é dada por:
Du f = nabla f cdot u
Onde nabla f é o gradiente de f .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f(x, y) = 3x^2 + y^2 . O gradiente é dado pelas derivadas parciais:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (6x, 2y)

Passo 4

Como queremos maximizar a derivada direcional, precisamos maximizar o produto escalar nabla f cdot u . Sabendo que u é um vetor unitário, o máximo valor que esse produto pode assumir é o módulo de nabla f , ou seja:
Du fmáx = |nabla f| = raiz(6x)^2 + (2y)^2 = raiz36x^2 + 4y^2 á

Passo 5

Agora, queremos maximizar raiz36x^2 + 4y^2 sob a restrição x^2 + y^2 = 1 . Para facilitar, podemos maximizar 36x^2 + 4y^2 em vez da raiz, já que a função raiz é crescente.

Passo 6

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para maximizar 36x^2 + 4y^2 com a restrição x^2 + y^2 = 1 . Definimos a função Lagrangiana:
L(x, y, lambda) = 36x^2 + 4y^2 - lambda(x^2 + y^2 - 1)

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais da L em relação a x , y e lambda e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 72x - 2lambda x = 0
partial Lpartial y = 8y - 2lambda y = 0
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 1) = 0

Passo 8

Analisando as equações:
  1. 72x - 2lambda x = 0 x(72 - 2lambda) = 0
  2. 8y - 2lambda y = 0 y(8 - 2lambda) = 0
  3. x^2 + y^2 = 1
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação: x = 0 ou lambda = 36 , e y = 0 ou lambda = 4 .

Passo 9

Vamos explorar as possibilidades:
  • Caso 1: lambda = 36
    • Da segunda equação: 8y - 72y = -64y = 0 y = 0
    • Substituindo na restrição: x^2 = 1 x = pm 1
    • Pontos: (1, 0) e (-1, 0)
  • Caso 2: lambda = 4
    • Da primeira equação: 72x - 8x = 64x = 0 x = 0
    • Substituindo na restrição: y^2 = 1 y = pm 1
    • Pontos: (0, 1) e (0, -1)

Passo 10

Agora, vamos verificar o valor de 36x^2 + 4y^2 em cada ponto:
  • Em (1, 0) e (-1, 0) :
36(1)^2 + 4(0)^2 = 36
  • Em (0, 1) e (0, -1) :
36(0)^2 + 4(1)^2 = 4
O valor máximo ocorre nos pontos (1, 0) e (-1, 0) .

Passo 11

Para encontrar as direções onde a derivada direcional é máxima, lembramos que ocorre na direção do gradiente nabla f . Nos pontos (1, 0) e (-1, 0) :
  • Em (1, 0) :
nabla f = (6 times 1, 2 times 0) = (6, 0)
A direção é (1, 0) (já que u é unitário).
  • Em (-1, 0) :
nabla f = (6 times -1, 2 times 0) = (-6, 0)
A direção é (-1, 0) .

Resposta

Os pontos onde a derivada direcional de f(x, y) = 3x^2 + y^2 atinge seu valor máximo no círculo x^2 + y^2 = 1 são (1, 0) e (-1, 0) . As direções correspondentes são (1, 0) e (-1, 0) , respectivamente.

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