Calcule: integral x^5+6 x^3+2 x^2+4 x+4x^4+4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
integral x^5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 4x^4 + 4x^2,dx
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial e depois decompor o quociente restante em frações parciais. Precisamos, portanto, de:
bul<=t Divisão de polinômios.
bul<=t Decomposição em frações parciais.
bul<=t Integrais elementares ( integral x^ndx, integral 1/x,dx, integral x/(x^2+a^2),dx, integral 1/(x^2+a^2),dx).

Passo 2

Fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
Dividindo
x^5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 4
por
x^4 + 4x^2
obtemos quociente x e resto 2x^3 + 2x^2 +4x +4. Logo
x^5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 4x^4 +4x^2 = x ;+; 2x^3 + 2x^2 +4x +4x^2(x^2+4)

Passo 3

Para a parte racional 2x^3 + 2x^2 +4x +4x^2(x^2+4) usamos a forma
2x^3 + 2x^2 +4x +4x^2(x^2+4) = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2+4
Multiplicando por x^2(x^2+4) e comparando coeficientes, achamos
A = 1, B = 1, C = 1, D = 1

Passo 4

Substituindo os coeficientes, a integral fica
integral l(x + 1x + 1x^2 + xx^2+4 + 1x^2+4r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo usando fórmulas padrão:
integral x,dx = x^22, integral 1x,dx = lnlvert xrvert, integral 1x^2,dx = -1x,
integral xx^2+4,dx = 12lnl(x^2+4r), integral 1x^2+4,dx = 12arctan!l(tfracx2r)

Resposta

boxed integral x^5+6x^3+2x^2+4x+4x^4+4x^2,dx = x^22 + lnlvert xrvert - 1x + 12lnl(x^2+4r) + 12arctan!l(x2r) + C

Exercícios relacionados