Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
cos (x) d x+(y+2y sen(x)) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
cos(x),dx+l(y+2ysin(x)r),dy=0
Isso é uma equação na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. A ideia é verificar se ela é exata, e, se não for, procurar um fator integrante (talvez função só de x ou só de y) que a torne exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
M(x,y)=cos(x), N(x,y)=y+2ysin(x)
Então
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=2ycos(x)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. A condição para mu(y) é
partial N/partial x-partial M/partial yM =tfrac2ycos(x)-0cos(x) =2y,
que de fato é função só de y. Logo
mu(y)=exp!l(integral2ydyr) =expl(2ln|y|r) =y^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por y^2:
y^2cos(x),dx+l(y^3+2ysin(x)r),dy=0
Agora definimos
widetilde M(x,y)=y^2cos(x), widetilde N(x,y)=y^3+2ysin(x)
Verificando exatidão:
partialwidetilde Mpartial y=2ycos(x), partialwidetilde Npartial x=2ycos(x),
portanto a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x =widetilde M=y^2cos(x)
Integrando em x,
Psi(x,y)=integral y^2cos(x),dx =y^2sin(x)+h(y)
Agora impomos
partialPsipartial y =2ysin(x)+h'(y) stackrel!= widetilde N =y^3+2ysin(x)
Logo h'(y)=y^3, e integrando em y vem
h(y)=y^44
Portanto
Psi(x,y)=y^2sin(x)+y^44

Passo 6

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=C ;Longrightarrow; y^2sin(x)+y^44=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y^2sin(x)+y^44=C

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