Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Isso é uma equação na forma
. A ideia é verificar se ela é exata, e, se não for, procurar um fator integrante (talvez função só de
ou só de
) que a torne exata.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
Então
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição para
é
que de fato é função só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora definimos
Verificando exatidão:
portanto a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
,
Agora impomos
Logo
, e integrando em
vem
Portanto
Passo 6
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.