Ache os pontos de r: x-1=2 y=z que equidistam de
[
s_{1}:\left{ l x=2 z=0 \quad e s_{2}: x=y=0\right.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da reta r, dada por x–1 = 2y = z, que ficam à mesma distância de duas retas s₁ e s₂. O conteúdo principal é distância de um ponto a uma reta no espaço, usando a fórmula d = | (P - P0) times v |/|v|, onde P0 e v definem a reta.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar r. Se chamarmos o parâmetro de t, temos
x-1 = 2y = z = t,
então
x = 1 + t, y = t2, z = t

Passo 3

Agora calculamos a distância de um ponto genérico P=(x,y,z) em r até cada reta. Para s₁ usamos o ponto P1=(2,0,0) e o vetor diretor v1=(0,1,0). Aplicando a fórmula da distância:
d1 = | (x-2,y,z) times (0,1,0) ||(0,1,0)| = raiz(x-2)^2 + z^2

Passo 4

Para s₂ usamos P2=(0,0,0) e v2=(0,0,1). Assim
d2 = | (x,y,z) times (0,0,1) ||(0,0,1)| = raizx^2 + y^2

Passo 5

Igualamos as distâncias para garantir equidistância:
(x-2)^2 + z^2 = x^2 + y^2

Passo 6

Substituindo x=1+t, y=t/2, z=t na equação, obtemos
(t-1)^2 + t^2 = (1+t)^2 + l(t2r)^2

Passo 7

Expandindo e simplificando chega-se a
34 t^2 - 4t = 0 Longrightarrow 3t^2 - 16t = 0

Passo 8

Fatorando,
t(3t - 16) = 0 Longrightarrow t = 0 ;ou; t = 163

Passo 9

Por fim, encontramos os dois pontos em r: para t=0,
P(0) = (1,0,0);
para t=16/3,
Pl(tfrac163r) = l(1+tfrac163,,tfrac16/32,,tfrac163r) = l(tfrac193,,tfrac83,,tfrac163r)

Resposta

Os pontos de r que equidistam de s₁ e s₂ são (1,0,0) e l(tfrac193,tfrac83,tfrac163r).

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