Mostre que
. Interprete esta igualdade geometricamente.
Passo 1
O exercício pede para provar que a soma dos quadrados das normas de
e
é igual a
. Vamos usar propriedades de produto escalar e norma para chegar lá.
Passo 2
Lembra que a norma ao quadrado de qualquer vetor
é dada pelo produto escalar dele com ele mesmo:
Essa definição nos permite converter normas ao quadrado em produtos escalares.
Passo 3
Agora expandimos cada termo usando a distributividade do produto escalar. Primeiro
em depois
Passo 4
Somando essas duas expressões vemos que os termos mistos
se cancelam e sobra
Isso prova a identidade pedida.
Resposta
A igualdade vale sempre e, geometricamente, é a famosa lei do paralelogramo: num paralelogramo construído sobre
e
, a soma dos quadrados das diagonais (que são
e
) é igual a duas vezes a soma dos quadrados dos lados.