Mostre que . Interprete esta igualdade geometricamente.

Passo 1

O exercício pede para provar que a soma dos quadrados das normas de vec u + vec v e vec u - vec v é igual a 2l(|vec u|^2 + |vec v|^2r). Vamos usar propriedades de produto escalar e norma para chegar lá.

Passo 2

Lembra que a norma ao quadrado de qualquer vetor vec a é dada pelo produto escalar dele com ele mesmo:
|vec a|^2 = vec a cdot vec a
Essa definição nos permite converter normas ao quadrado em produtos escalares.

Passo 3

Agora expandimos cada termo usando a distributividade do produto escalar. Primeiro
|vec u + vec v|^2 = (vec u + vec v) cdot (vec u + vec v) = vec ucdotvec u + 2,vec ucdotvec v + vec vcdotvec v = |vec u|^2 + 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2,
em depois
|vec u - vec v|^2 = (vec u - vec v) cdot (vec u - vec v) = |vec u|^2 - 2,vec ucdotvec v + |vec v|^2

Passo 4

Somando essas duas expressões vemos que os termos mistos pm2,vec ucdotvec v se cancelam e sobra
|vec u + vec v|^2 + |vec u - vec v|^2 = (|vec u|^2 + |vec v|^2) + (|vec u|^2 + |vec v|^2) = 2l(|vec u|^2 + |vec v|^2r)
Isso prova a identidade pedida.

Resposta

A igualdade vale sempre e, geometricamente, é a famosa lei do paralelogramo: num paralelogramo construído sobre vec u e vec v, a soma dos quadrados das diagonais (que são vec u+vec v e vec u-vec v) é igual a duas vezes a soma dos quadrados dos lados.

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