Ache os pontos do gráfico de y=x^32-x^12 em que a tangente é paralela à reta y-x=3.
OBS: Se duas retas res são paralelas, então mr=ms, onde mr e ms são os coeficientes angulares das duas retas.
Resposta: Ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede os pontos do gráfico de y = x^32 - x^12 em que a reta tangente seja paralela à reta y - x = 3.
Conteúdo: derivada de funções potenciais e condição de paralelismo (mesmo coeficiente angular).

Passo 2

Vamos calcular o coeficiente angular da tangente, ou seja, a derivada de
y = x^tfrac32 - x^tfrac12
Pela regra de potência,
y' = 32,x^tfrac12 ;-;12,x^-tfrac12

Passo 3

A reta y - x = 3 tem coeficiente angular m=1. Para que a tangente seja paralela, impomos
32,x^tfrac12 - 12,x^-tfrac12 = 1
Como x>0, multiplicamos ambos os lados por 2raizx:
3x - 1 = 2raizx

Passo 4

Definindo t = raizx>=0, a equação vira
3t^2 - 2t - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
t = 2 pm raiz4 + 126 = 2 pm 46,
logo t = 1 ou t = -tfrac13. Descartamos t<0, ficando t=1 e então x=1.

Passo 5

Substituindo x=1 em y:
y = 1^tfrac32 - 1^tfrac12 = 1 - 1 = 0

Resposta

O único ponto é (1,0).

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