Ache os pontos de intersecção dos gráficos do par de equações dadas:
lr=2+2 cos theta theta=pi4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma curva polar dada por r=2+2\cos\theta e a reta polar theta=pi4. O conteúdo é curvas em coordenadas polares e conversão para coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos usar a definição de cosseno para ângulo fixo e, depois, converter o ponto resultante para (x,y).

Passo 2

Substituímos theta=pi4 na equação polar e usamos a identidade cospi4=raiz22.
Calculamos então o valor de r:
r = 2 + 2cospi4 = 2 + 2cdotraiz22 = 2 + raiz2

Passo 3

Para converter para coordenadas cartesianas, lembramos que
x = rcostheta, y = rsintheta Substituindo r=2+raiz2 e theta=pi4:
Calculamos
x = (2+raiz2)cospi4 = (2+raiz2)cdotraiz22 = 1 + raiz2,
y = (2+raiz2)sinpi4 = (2+raiz2)cdotraiz22 = 1 + raiz2 Assim obtemos o ponto de interseção em coordenadas cartesianas.

Passo 4

Portanto, o gráfico da curva e a reta theta=pi4 se cruzam exatamente num único ponto.

Resposta

Em coordenadas polares: (r,theta)=(2+raiz2,,tfracpi4). Em coordenadas cartesianas: (x,y)=(1+raiz2,,1+raiz2).

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