Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa analisar a integral imprópria
querendo saber se ela converge (ou diverge), calcular seu valor quando convergente e verificar se é absolutamente convergente.
Passo 2
Para estudar a convergência, dividimos em dois testes: no infinito e na origem.
- Para
, temos decresce rapidamente (mais rápido que qualquer potência de ), logo
é convergente por comparação com.
- Para, note que e , mas
é finita (
), então
é convergente.
Portanto a integral original converge.
Passo 3
Para calcular o valor, usamos a função Gama
Diferenciando em relação a
Escolhendo
dá
Passo 4
Sabemos da teoria da função Gama que
sendo
Passo 5
Já que mostramos acima que
a integral é também absolutamente convergente.
Resposta
A integral é convergente e absolutamente convergente, e seu valor é
, onde
é a constante de Euler–Mascheroni.