Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty e^-x ln x d x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa analisar a integral imprópria
integral0^infty e^-xln x,dx
querendo saber se ela converge (ou diverge), calcular seu valor quando convergente e verificar se é absolutamente convergente.

Passo 2

Para estudar a convergência, dividimos em dois testes: no infinito e na origem.
  • Para xtoinfty, temos e^-xln x decresce rapidamente (mais rápido que qualquer potência de x), logo integral1^infty e^-x|ln x|,dx
    é convergente por comparação com e^-xx.
    - Para xto0^+, note que e^-xapprox1 e ln xto-infty, mas
    integral0^1 |ln x|,dx
é finita ( =1), então
integral0^1 e^-x|ln x|,dx
é convergente.
Portanto a integral original converge.

Passo 3

Para calcular o valor, usamos a função Gama
Gamma(a)=integral0^infty x^a-1e^-x,dx
Diferenciando em relação a a obtemos
Gamma'(a)=integral0^infty x^a-1e^-xln x,dx
Escolhendo a=1
Gamma'(1)=integral0^infty e^-xln x,dx

Passo 4

Sabemos da teoria da função Gama que
Gamma'(1)=-gamma,
sendo gamma a constante de Euler–Mascheroni. Logo
integral0^infty e^-xln x,dx=-gamma

Passo 5

Já que mostramos acima que
integral0^infty e^-x|ln x|,dx
a integral é também absolutamente convergente.

Resposta

A integral é convergente e absolutamente convergente, e seu valor é -gamma, onde gamma é a constante de Euler–Mascheroni.

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