Sejam
. Determine o valor de
para que a função a seguir seja derivável em
.
a) -8
b) -3
c) 2
d) 5
e) 8
b) -3
c) 2
d) 5
e) 8
Passo 1
A gente tem uma função definida em pedaços e quer que ela seja derivável em x=1, então precisamos usar duas condições: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.
Passo 2
Para continuidade em x=1, igualamos o valor à esquerda e à direita: à esquerda f(1^-)=3-1=2 e à direita f(1+)=a·12 + b·1 = a + b. Logo
Passo 3
Para derivabilidade, precisamos que as derivadas laterais coincidam em x=1. À esquerda f’(x) = -1 (derivada de 3-x) e à direita f’(x) = 2a x + b. Em x=1:
Passo 4
Agora temos o sistema
Passo 5
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Em seguida, usando a + b = 2:
Passo 7
Por fim, calculamos a diferença que pedem:
Resposta
-8