Sejam a, b in R. Determine o valor de a-b para que a função a seguir seja derivável em x=1.
f(x)= 3-x & , x<1 a x^2+b x & , x >= 1
a) -8
b) -3
c) 2
d) 5
e) 8

Passo 1

A gente tem uma função definida em pedaços e quer que ela seja derivável em x=1, então precisamos usar duas condições: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Para continuidade em x=1, igualamos o valor à esquerda e à direita: à esquerda f(1^-)=3-1=2 e à direita f(1+)=a·12 + b·1 = a + b. Logo
a + b = 2

Passo 3

Para derivabilidade, precisamos que as derivadas laterais coincidam em x=1. À esquerda f’(x) = -1 (derivada de 3-x) e à direita f’(x) = 2a x + b. Em x=1:
2a + b = -1

Passo 4

Agora temos o sistema
a + b = 22a + b = -1

Passo 5

Subtraindo a primeira da segunda:
2a + b - (a + b) = -1 - 2 implies a = -3

Passo 6

Em seguida, usando a + b = 2:
-3 + b = 2 implies b = 5

Passo 7

Por fim, calculamos a diferença que pedem:
a - b = -3 - 5 = -8

Resposta

-8

Exercícios relacionados