Calcule os limites:
lim x +infty 3-xraiz5+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x vai para +infty da função f(x)=3 - xraiz5 + 4x^2. O conteúdo aqui é limites de funções racionais envolvendo raiz quadrada, e vamos precisar de fatoração assintótica, isolando o maior termo em x.

Passo 2

Para tratar a raiz e o termo de maior ordem, fatoramos x de numerador e denominador. Note que, para xto+infty, temos |x|=x. Reescrevendo:
3 - xraiz5 + 4x^2 = xl(3/x - 1r)raizx^2l(4 + 5/x^2r) = xl(3/x - 1r)xraiz4 + 5/x^2 = 3/x - 1raiz4 + 5/x^2

Passo 3

Agora analisamos o comportamento das partes conforme xto+infty: o termo 3/x tende a 0 e 5/x^2 também tende a 0. Portanto:
3/x - 1 to -1 e raiz4 + 5/x^2 to raiz4 = 2

Passo 4

Assim o quociente interno tende a -1/2. Não há indeterminação a essa altura, o limite é direto.

Resposta

-tfrac12

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