Sejam u e v vetores unitários tais que lang<= u, vrang<==12. Determine lang<= u+v, u-vrang<= e |u+v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois vetores unitários, e , e o produto interno entre eles é . Nosso objetivo é determinar e a norma de , que é .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produtos internos e normas de vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular lang<= a+b, c+d rang<= = lang<= a, c rang<= + lang<= a, d rang<= + lang<= b, c rang<= + lang<= b, d rang<= . O produto interno tem propriedades que nos ajudam a simplificar essa expressão. Lembre-se que o produto interno é distributivo, ou seja:
lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= - lang<= v, v rang<=
Aplicando isso a :

Passo 3

Sabemos que lang<= u, u rang<= = |u|^2 = 1 lang<= v, v rang<= = |v|^2 = 1 e são vetores unitários, ou seja, e . O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua norma:
Também sabemos que e, como o produto interno é comutativo, .

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que obtivemos:
lang<= u+v, u-v rang<= = 1 - 12 + 12 - 1
Vamos simplificar isso:
1 - 12 = 12 12 + 12 = 1 1 - 1 = 0
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de |u+v| = raizlang<= u+v, u+v rang<= , que é lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<= . A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo:
1 + 12 + 12 + 1 = 1 + 0,5 + 0,5 + 1 = 3
Vamos calcular |u+v| = raiz3 usando a propriedade distributiva:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Então,

Resposta

e .

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