Sejam
e
vetores unitários tais que
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois vetores unitários,
e
, e o produto interno entre eles é
. Nosso objetivo é determinar
e a norma de
, que é
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produtos internos e normas de vetores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. O produto interno tem propriedades que nos ajudam a simplificar essa expressão. Lembre-se que o produto interno é distributivo, ou seja:
Aplicando isso a
:
Passo 3
Sabemos que
e
são vetores unitários, ou seja,
e
. O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua norma:
Também sabemos que
e, como o produto interno é comutativo,
.
Passo 4
Substituindo esses valores na expressão que obtivemos:
Vamos simplificar isso:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de
, que é
. A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo:
Vamos calcular
usando a propriedade distributiva:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Então,