(2.5) Ache os pontos sobre a curva y=x^4-6 x^2+4 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a curva y = x^4 - 6x^2 + 4 e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal. Em cálculo, reta tangente é horizontal quando a derivada primeira de y em relação a x se anula, ou seja, quando y'=0. Vamos usar a regra do poder para derivar e depois resolver y'=0.

Passo 2

Derivando a função termo a termo pelo poder, obtemos
y' = ddxl(x^4r) - ddxl(6x^2r) + ddx(4) = 4x^3 - 12x + 0

Passo 3

Para achar onde a derivada se anula, resolvemos
4x^3 - 12x = 0 Long<=ftrightarrow 4x(x^2-3) = 0
Isso dá as soluções
x = 0 ou x^2 - 3 = 0 ,Longrightarrow, x = pmraiz3

Passo 4

Agora calculamos y em cada valor de x:
Para x=0:
y(0) = 0^4 - 6cdot 0^2 + 4 = 4,
logo o ponto é l(0,4r).
Para x = raiz3:
y(raiz3) = (raiz3)^4 - 6(raiz3)^2 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5,
logo o ponto é l(raiz3,-5r).
Para x = -raiz3:
y(-raiz3) = (-raiz3)^4 - 6(-raiz3)^2 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5,
logo o ponto é l(-raiz3,-5r).

Resposta

,(0,4),;(raiz3,-5),;(-raiz3,-5)

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