Ache os possíveis valores de m, n in N de modo que o número 9^m 10^n tenha:
243 divisores.

Passo 1

O enunciado pede os valores de m,ninN tais que o número
N = 9^m ,10^n
tenha exatamente 243 divisores.
Conteúdo: teoria de divisores, fatoração prima e fórmula do número de divisores.

Passo 2

Primeiro, fatoramos
9^m=3^2m, 10^n=2^n,5^n,
logo
N = 2^n,3^2m,5^n
Pela fórmula do número de divisores, se
N = p1^a1,p2^a2,cdots,pk^ak,
então
tau(N)=(a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)
Aqui temos os expoentes a2=2m para o primo 3 e a1=a3=n para os primos 2 e 5.

Passo 3

Logo o número de divisores de N é
tau(N) = (n+1),(2m+1),(n+1) = (n+1)^2,(2m+1)
Queremos
(n+1)^2,(2m+1) = 243
Note que 243 = 3^5.

Passo 4

Como (n+1)^2 é um quadrado perfeito que divide 3^5, as únicas opções são
(n+1)^2 in 1,,9,,81

Passo 5

Caso (n+1)^2=1:
n+1=1implies n=0, 2m+1 = 2431=243implies m=121

Passo 6

Caso (n+1)^2=9:
n+1=3implies n=2, 2m+1 = 2439=27implies m=13

Passo 7

Caso (n+1)^2=81:
n+1=9implies n=8, 2m+1 = 24381=3implies m=1

Resposta

Os pares (m,n)inN que satisfazem são
(m,n) = (121,0),;(13,2);e;(1,8)

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