Resolva, em Z, as equações diofantinas lineares a seguir.
50 x-56 y=74

Passo 1

O enunciado pede encontrar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
50x - 56y = 74
Este é um caso de equação da forma ax + by = c. Para resolver, vamos usar o algoritmo de Euclides para obter gcd(a,b), verificar divisibilidade e depois achar uma solução particular e a solução geral.

Passo 2

Calcular gcd(50,56) pelo algoritmo de Euclides:
56 = 50cdot1 + 6, 50 = 6cdot8 + 2, 6 = 2cdot3 + 0
Logo gcd(50,56)=2. Como 2 divide 74, a equação tem solução em Z.

Passo 3

Dividimos toda a equação por 2 para simplificar:
25x - 28y = 37

Passo 4

Para achar uma solução particular, resolvemos a congruência
25x equiv 37 pmod28
Observando que 37equiv9pmod28 e 25equiv -3pmod28, temos
-3x equiv 9 pmod28 Longrightarrow 3x equiv -9 equiv 19 pmod28
O inverso de 3 módulo 28 é 19, pois 3cdot19=57equiv1pmod28. Multiplicando ambos os lados por 19,
x equiv 19cdot19 equiv 361 equiv 25 pmod28
Assim, uma solução particular é x0=25.

Passo 5

Substituindo x0=25 em 25x-28y=37 para achar y0:
25cdot25 - 28y = 37 Longrightarrow 625 - 28y = 37 Longrightarrow 28y = 588 Longrightarrow y = 21
Como o divisor comum foi 2, a solução geral da equação original é
x = x0 + 562,t = 25 + 28t, y = y0 + 502,t = 21 + 25t,
onde tinZ.

Resposta

boxed x = 25 + 28t, y = 21 + 25t, tinZ

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