Dispondo de R$100,00, quais são as quantias que se podem gastar comprando selos de
5,00
\mathrm{R} $ 7,00$ ?
Passo 1
O enunciado pede todas as quantias
que podemos gastar, com
, escrevendo
para alguns inteiros não negativos
e
. O conteúdo é soma de múltiplos (equação diofantina linear) e o que vamos usar é o teorema de Frobenius para saber até que ponto precisamos verificar “na mão” e depois um argumento geral.
Passo 2
Como
, o maior inteiro que não se escreve como
é
Isso quer dizer que todo inteiro
já se expressa como
.
Passo 3
Agora precisamos achar todos os valores de
menores ou iguais a
. Fazendo
e ajustando
, os valores obtidos (sempre
) são:
Passo 4
Juntando tudo, as quantias possíveis são exatamente os valores de
e todos os inteiros de
até
, pois para
já temos representação.
Resposta
As quantias possíveis de gasto são