Ache os possíveis valores de m, n in N de modo que o número 9^m 10^n tenha:
27 divisores.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os m,ninN tais que o número
9^m10^n
tenha exatamente 27 divisores.
O que precisamos: fatorar esse número em primos e usar a fórmula do número de divisores.

Passo 2

Fatorando
9^m10^n = (3^2)^m,(2cdot5)^n = 3^2m,2^n,5^n
Se um número inteiro positivo tem fatoração
p1^alpha1p2^alpha2cdots pk^alphak,
o total de divisores é
(alpha1+1)(alpha2+1)cdots(alphak+1)

Passo 3

No nosso caso, os expoentes são alpha1=2m, alpha2=n e alpha3=n. Logo o número de divisores é
d = (2m+1),(n+1),(n+1) = (2m+1),(n+1)^2
Queremos
(2m+1),(n+1)^2 = 27

Passo 4

Chamemos a = n+1 e b = 2m+1. Então
a^2,b = 27 = 3^3
Procuramos a,binN com a^2 dividindo 27.
As únicas opções são
  • a^2=1 e b=27,
  • a^2=9 e b=3.

Passo 5

Tratando cada caso:
  1. Se a^2=1, então a=1, ou seja n+1=1implies n=0. E b=27implies2m+1=27implies m=13.
  2. Se a^2=9, então a=3, ou seja n+1=3implies n=2. E b=3implies2m+1=3implies m=1.
Se considerarmos N incluindo o zero, ambos os pares são válidos. Se tomarmos N=1,2,3,dots, o caso n=0 fica de fora e sobra apenas (m,n)=(1,2).

Resposta

Os pares (m,n) que funcionam são
(m,n)=(1,2)
e, caso se inclua 0 em N, também
(m,n)=(13,0)

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