Sejam n in N, calcule [n^2+1, n+1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular [n^2 + 1, n + 1] onde n é um número natural. Aqui, estamos lidando com o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), que é o menor número que é múltiplo de dois números dados. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o MMC usando o MDC (Máximo Divisor Comum).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que existe uma relação bem útil entre MMC e MDC:
MMC(a, b) = a times bMDC(a, b)
Isso significa que, para encontrar o MMC de a e b, a gente multiplica os dois números e divide pelo MDC deles. Então, nosso objetivo é encontrar o MDC entre n^2 + 1 e n + 1.

Passo 3

Para encontrar o MDC de n^2 + 1 e n + 1, vamos usar o Algoritmo de Euclides, que é uma maneira eficiente de calcular o MDC. O algoritmo funciona assim: substituímos o número maior pelo resto da divisão dele pelo menor número, e repetimos o processo até que o resto seja zero. O último divisor não nulo é o MDC.
Então, começamos com:
MDC(n^2 + 1, n + 1)
Vamos dividir n^2 + 1 por n + 1:
n^2 + 1 = (n + 1)(n - 1) + 2
Aqui, o resto da divisão é 2. Agora, aplicamos o algoritmo novamente:
MDC(n + 1, 2)
Como n + 1 pode ser par ou ímpar, temos dois casos:
  1. Se n for ímpar, então n + 1 é par, e o MDC será 2.
  2. Se n for par, então n + 1 é ímpar, e o MDC será 1.

Passo 4

Agora que temos o MDC, podemos encontrar o MMC usando a relação que mencionamos no Passo 2.
  • Caso 1: n é ímpar
MMC(n^2 + 1, n + 1) = (n^2 + 1)(n + 1)2
  • Caso 2: n é par
MMC(n^2 + 1, n + 1) = (n^2 + 1)(n + 1)

Resposta

Portanto, o Mínimo Múltiplo Comum de n^2 + 1 e n + 1 é:
  • Se n for ímpar:
[n^2 + 1, n + 1] = (n^2 + 1)(n + 1)2
  • Se n for par:
[n^2 + 1, n + 1] = (n^2 + 1)(n + 1)

Exercícios relacionados