Resolva, em Z, as equações diofantinas lineares a seguir.
40 x-65 y=135

Passo 1

O enunciado pede para resolver em Z a equação diofantina linear
40x - 65y = 135
O conteúdo principal é o cálculo do gcd entre os coeficientes, verificar existência de solução e então obter a solução geral.

Passo 2

Calcular d = gcd(40,65) pelo algoritmo de Euclides:
65 = 40cdot1 + 25, 40 = 25cdot1 + 15, 25 = 15cdot1 + 10, 15 = 10cdot1 + 5, 10 = 5cdot2 + 0
Portanto d = 5. Como 5 divide 135, existe solução.

Passo 3

Dividindo toda a equação por d=5, fica
8x - 13y = 27

Passo 4

Para achar uma solução particular, observamos a congruência
8x equiv 27 pmod13
e como 27equiv1pmod13 obtemos
8x equiv 1 pmod13
O inverso de 8 em Z13 é 5 (porque 8cdot5=40equiv1pmod13), logo
x0 equiv 5 pmod13 implies x0 = 5
Substituindo em 8x -13y=27:
8cdot5 - 13y =27 ;Longrightarrow; 40 -13y =27 ;Longrightarrow; 13y =13 ;Longrightarrow; y0 = 1

Passo 5

A solução geral de 8x-13y=27 é
x = x0 + 13k = 5 + 13k, y = y0 + 8k = 1 + 8k,
onde kinZ. Voltando à equação original, a forma não se altera.

Resposta

(x,y) = (5 + 13k,;1 + 8k), kinZ

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