Sejam
e
dois números inteiros, com
. Mostre que:
é 1 ou 2 . (Dica:
, para todo
Passo 1
O problema pede para mostrar que, dados dois inteiros
e
tais que
, temos
O conteúdo envolvido é teoria de divisores e propriedades do máximo divisor comum, em particular que
Passo 2
Defina
Então
divide qualquer combinação inteira de
e
. Note que
é múltiplo de
, logo
também divide
. Somando
com
, vemos que
é múltiplo de
. Portanto
. De modo análogo, subtraindo, obtemos que
.
Passo 3
Como
divide simultaneamente
e
, tem-se
Mas pela dica
. Então
isto é,
só pode ser
ou
.
Passo 4
Para saber quando vale
ou
, basta olhar a paridade de
:
- Se um dos números
for par e o outro ímpar, então é ímpar, logo não pode ser e vale . - Se ambos
e forem ímpares, então é par e também é par, forçando .