Sejam a e b dois números inteiros, com (a, b)=1. Mostre que:
(a+b, a^2+b^2) é 1 ou 2 . (Dica: (a^n, b^n)=(a, b)^n, para todo n in N)

Passo 1

O problema pede para mostrar que, dados dois inteiros a e b tais que gcd(a,b)=1, temos
gcdl(a+b,;a^2+b^2r)in1,2
O conteúdo envolvido é teoria de divisores e propriedades do máximo divisor comum, em particular que
gcd(a^n,b^n)=l(gcd(a,b)r)^n

Passo 2

Defina
d=gcdl(a+b,;a^2+b^2r)
Então d divide qualquer combinação inteira de a+b e a^2+b^2. Note que
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
é múltiplo de a+b, logo d também divide a^2-b^2. Somando a^2+b^2 com a^2-b^2, vemos que
(a^2+b^2)+(a^2-b^2)=2a^2
é múltiplo de d. Portanto dmid 2a^2. De modo análogo, subtraindo, obtemos que dmid 2b^2.

Passo 3

Como d divide simultaneamente 2a^2 e 2b^2, tem-se
dmid gcd(2a^2,2b^2)=2;gcd(a^2,b^2)
Mas pela dica gcd(a^2,b^2)=l(gcd(a,b)r)^2=1^2=1. Então
dmid 2,
isto é, d só pode ser 1 ou 2.

Passo 4

Para saber quando vale 1 ou 2, basta olhar a paridade de a+b:
  • Se um dos números a,b for par e o outro ímpar, então a+b é ímpar, logo gcd(a+b,a^2+b^2) não pode ser 2 e vale 1.
  • Se ambos a e b forem ímpares, então a+b é par e também a^2+b^2 é par, forçando gcd(a+b,a^2+b^2)=2.

Resposta

gcd(a+b,;a^2+b^2)=1 ou 2.

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