Ache, se possível, o limite indicado da função f e justifique sua resposta:
f(x)=lllx-2x^2+4 x-3 & , & se x<-1 raiz3+x-raiz3x, & se -1 <= x<0 x^2-2 x-8x-4 & , & se 0 <= x<4 x-4raiz[3]x-4, & se x >= 4
lim x -1 f(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -1 f(x) da função f(x) definida por partes. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites e Funções por Partes. Para encontrar esse limite, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de -1 por valores menores (pela esquerda) e por valores maiores (pela direita).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de -1 com valores menores que -1 ( x to -1^-). Nessa região, a função é definida por:
f(x) = x - 2x^2 + 4x - 3
Vamos simplificar essa expressão:
  1. Fatorar o denominador:
x^2 + 4x - 3 = (x + 3)(x + 1)
Então, a função fica:
f(x) = x - 2(x + 3)(x + 1)
  1. Agora, substituímos x por -1:
f(-1) = -1 - 2(-1 + 3)(-1 + 1) = -3(2)(0)
Aqui, o denominador se aproxima de zero, mas o numerador se aproxima de -3. Portanto, o limite pela esquerda tende a:
lim x -1^- f(x) = -infty

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando x se aproxima de -1 com valores maiores que -1 ( x to -1^+). Nessa região, a função é definida por:
f(x) = raiz3 + x - raiz3x
Vamos simplificar essa expressão usando a racionalização:
  1. Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
f(x) = raiz3 + x - raiz3x cdot raiz3 + x + raiz3raiz3 + x + raiz3 = (3 + x) - 3x(raiz3 + x + raiz3) = xx(raiz3 + x + raiz3)
  1. Simplificando os x:
f(x) = 1raiz3 + x + raiz3
  1. Agora, substituímos x por -1:
f(-1) = 1raiz3 - 1 + raiz3 = 1raiz2 + raiz3
Portanto, o limite pela direita é:
lim x -1^+ f(x) = 1raiz2 + raiz3

Resposta

Como o limite pela esquerda tende a -infty e o limite pela direita é 1raiz2 + raiz3, que é um número finito, os dois limites laterais são diferentes. Portanto, o limite lim x -1 f(x) não existe.

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