Use o Teorema do Confronto para calcular
lim x 0 f(x)-f(0)x
em que f(x)=rllx^3 sen(1x), & se & x neq 0 0, & se & x=0

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. A função está definida de duas maneiras diferentes: para e para . Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze) para resolver isso. Esse teorema é ótimo pra quando você tem uma função que está “presa” entre duas outras funções com limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir limx to 0 f(x) - f(0)x na expressão que queremos calcular:
limx to 0 f(x)x
Sabemos que f(x) = x^3 sin(1x) , então fica:
limx to 0 x^3 sin(1x)x = limx to 0 x^2 sin(1x)
Agora, vamos substituir para :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos “apertar” nossa função -1 <= sin(1x) <= 1 entre duas funções que sabemos os limites.
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
- x^2 <= x^2 sin(1x) <= x^2
Multiplicando todos os lados por (que é positivo, então a desigualdade se mantém):

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nos “confrontos”:
limx to 0 (-x^2) = 0
limx to 0 x^2 = 0
Pelo Teorema do Confronto, já que tanto o limite inferior quanto o limite superior da nossa função são 0, o limite dessa função também é 0.

Resposta

Usando o Teorema do Confronto, concluímos que:
limx to 0 f(x) - f(0)x = 0

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