Use o Teorema do Confronto para calcular
em que
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. A função
está definida de duas maneiras diferentes: para
e para
. Vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze) para resolver isso. Esse teorema é ótimo pra quando você tem uma função que está “presa” entre duas outras funções com limites conhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão que queremos calcular:
Sabemos que
, então fica:
Agora, vamos substituir
para
:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos “apertar” nossa função
entre duas funções que sabemos os limites.
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nos “confrontos”:
Pelo Teorema do Confronto, já que tanto o limite inferior quanto o limite superior da nossa função
são 0, o limite dessa função também é 0.
Resposta
Usando o Teorema do Confronto, concluímos que: