Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim a pi2 1-sen a+cos a-1+sen a+cos a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Vamos precisar usar propriedades de limites e as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1 - sin(pi2) + cos(pi2)-1 + sin(pi2) + cos(pi2) por sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 na expressão para ver se conseguimos calcular diretamente:
Sabemos que:

Passo 3

Substituindo esses valores na expressão:
1 - 1 + 0-1 + 1 + 0 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
1 - sin a + cos a
Denominador:
-1 + sin a + cos a
Podemos reorganizar termos para facilitar:
Numerador = (1 + cos a) - sin a
Denominador = (sin a + cos a) - 1
Ainda não está claro, então vamos tentar fatorar ou usar identidades trigonométricas.

Passo 5

Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com 1 - sin a + cos a-1 + sin a + cos a = (1 + cos a) - sin a(sin a + cos a) - 1 . Vamos tentar expressar a expressão em termos de :
Não há fator comum imediato, então vamos tentar a substituição direta usando o valor onde se aproxima de .

Passo 6

Sabemos que, perto de sin a approx 1 e cos a approx 0 , podemos usar aproximações:
1 - 1 + 0 = 0
Substituindo nessas aproximações:
Numerador:
-1 + 1 + 0 = 0
Denominador:
Ainda temos , então precisamos de uma abordagem diferente, como a regra de L’Hôpital.

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que diz que se lima to pi2 dda(1 - sin a + cos a) div dda(-1 + sin a + cos a) , então o limite é igual ao limite das derivadas:
dda(1 - sin a + cos a) = -cos a - sin a
Calculando as derivadas:
Derivada do numerador:
dda(-1 + sin a + cos a) = cos a - sin a
Derivada do denominador:

Passo 8

Agora, substituímos -cos(pi2) - sin(pi2)cos(pi2) - sin(pi2) = -0 - 10 - 1 = -1-1 = 1 nas derivadas:

Resposta

O limite é igual a .

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