Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Vamos precisar usar propriedades de limites e as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na expressão para ver se conseguimos calcular diretamente:
Sabemos que:
Passo 3
Substituindo esses valores na expressão:
Obtivemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Podemos reorganizar termos para facilitar:
Ainda não está claro, então vamos tentar fatorar ou usar identidades trigonométricas.
Passo 5
Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com
. Vamos tentar expressar a expressão em termos de
:
Não há fator comum imediato, então vamos tentar a substituição direta usando o valor onde
se aproxima de
.
Passo 6
Sabemos que, perto de
, podemos usar aproximações:
Substituindo nessas aproximações:
Numerador:
Denominador:
Ainda temos
, então precisamos de uma abordagem diferente, como a regra de L’Hôpital.
Passo 7
Aplicando a Regra de L’Hôpital, que diz que se
, então o limite é igual ao limite das derivadas:
Calculando as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 8
Agora, substituímos
nas derivadas:
Resposta
O limite é igual a
.