Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e o comportamento das funções quando
se aproxima de um valor específico. Para resolver, precisamos entender como a função cosseno se comporta perto de zero e como a divisão por
(que está se aproximando de zero por valores negativos) afeta o resultado.
Passo 2
Primeiro, analisamos o numerador da fração:
. Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo próximo a zero é aproximadamente 1, ou seja,
. Conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então
se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador:
. Estamos considerando
se aproximando de 0 pelo lado negativo (
), o que significa que
está se tornando um número pequeno negativo. Conforme
se aproxima de 0, o valor de
fica cada vez menor em magnitude, mas permanece negativo.
Passo 4
Vamos juntar essas informações na expressão original:
À medida que
se aproxima de 0 pelo lado negativo,
se torna uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é um número negativo muito pequeno. Dividir 1 por um número negativo muito pequeno resulta em um valor muito grande e negativo.
Passo 5
Portanto, o limite da expressão conforme
se aproxima de 0 pelo lado negativo é: