Ache, se possível, o limite indicado da função f e justifique sua resposta:
f(x)=lllx-2x^2+4 x-3 & , & se x<-1 raiz3+x-raiz3x, & se -1 <= x<0 x^2-2 x-8x-4 & , & se 0 <= x<4 x-4raiz[3]x-4, & se x >= 4
lim x 4 f(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar o limite dessa função quando se aproxima de 4, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites laterais e identificar qual parte da função utilizaremos dependendo de como se aproxima de 4.

Passo 2

Vamos analisar de que forma se aproxima de 4. Existem dois caminhos principais:
  1. Pelo lado esquerdo de 4 ( ): Aqui, se aproxima de 4 vindo dos valores menores que 4.
  2. Pelo lado direito de 4 ( ): Aqui, se aproxima de 4 vindo dos valores maiores que 4.
Para encontrar o limite geral, precisamos que os limites laterais sejam iguais. Se forem diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Calculando o limite pelo lado esquerdo ( f(x) = x^2 - 2x - 8x - 4 )
Quando x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) , a função é definida por:
f(x) = (x - 4)(x + 2)x - 4 = x + 2 para x neq 4
Vamos simplificar essa expressão:
limx 4^- f(x) = limx 4^- (x + 2) = 4 + 2 = 6
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

Calculando o limite pelo lado direito ( f(x) = x - 4raiz[3]x - 4 )
Quando f(x) = x - 4(x - 4)^1/3 = (x - 4)^1 - 13 = (x - 4)^23 , a função é definida por:
limx 4^+ f(x) = limx 4^+ (x - 4)^23 = 0
Podemos reescrever essa expressão utilizando a propriedade das potências:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Comparando os limites laterais
  • Limite pelo lado esquerdo: 6
  • Limite pelo lado direito: 0
Como os limites pelos lados esquerdo e direito são diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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